Oricare ar fi două numere naturale \(a\) și \(b\), există \(c\), număr natural unic, numit produsul numerelor \(a\) și \(b\). Notăm:
\[\underbrace{a}_\text{factor al produsului} \cdot\underbrace{b}_\text{factor al produsului}=\underbrace{c}_\text{produsul}\]
Operația prin care se obține produsul a două numere naturale se numește înmulțirea numerelor naturale.
Proprietățiile înmulțirii
1. Înmulțirea este asociativă, adică oricare ar fi a, b și c numere naturale, atunci
\(a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\)
(într-un produs cu mai mulți factori, rezultatul nu se schimbă dacă grupăm factorii diferit).
Exemplu:
\(\left( 2\cdot 3 \right)\cdot 5=2\cdot \left( 3\cdot 5 \right)\)
\(\left( 2\cdot 3 \right)\cdot 5=6\cdot 5=30\)
\(2\cdot \left( 3\cdot 5 \right)=2\cdot 15=30\)
2. Numărul 1 este element neutru la înmulțire, adică oricare ar fi numărul natural a, atunci
\(a\cdot 1=1 \cdot a=a\)
(dacă un factor al unui produs este 1, atunci produsul este egal cu celălalt factor).
Exemplu:
\(12\cdot 1=1\cdot 12=12\)
3. Înmulțirea este comutativă, adică oricare ar fi numerele naturale a și b, atunci:
\(a\cdot b=b\cdot a\)
(produsul nu se schimbă dacă schimbăm ordinea factorilor).
Exemplu:
\(2\cdot 3=3\cdot 2\)
4. Oricare ar fi numerele a și b, atunci:
\(a\cdot b=0\Leftrightarrow a=0\text{ sau b=0}\)
(un produs de numere naturale este 0 dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este 0).
Exemplu:
\(5\cdot 0=0\)
5. Înmulțirea numerele naturale este distributivă față de adunare și scădere, adică oricare ar fi a, b și c numere naturale, atunci
\(a\cdot \left( b+c \right)=a\cdot b+a\cdot c\)
\(a\cdot \left( b-c \right)=a\cdot b-a\cdot c\)
Exemple:
Înmulțirea numerele naturale este distributivă față de adunare:
\(2\cdot \left( 3+5 \right)=2\cdot 3+2\cdot 5\)
\(2\cdot \left( 3+5 \right)=2\cdot 8=16\)
\(\Leftrightarrow\)
\(2\cdot 3+2\cdot 5=6+10=16\)
Înmulțirea numerele naturale este distributivă față de scădere:
\(2\cdot \left( 7-3 \right)=2\cdot 7-2\cdot 3\)
\(2\cdot \left( 7-3 \right)=2\cdot 4=8\)
\(\Leftrightarrow\)
\(2\cdot 7-2\cdot 3=14-6=8\)
Înmulțirea numerelor naturale, relația de egalitate „\(=\)” și relația de ordine „\( \le\)” sunt legate prin următoarele proprietăți:
Oricare ar fi numerele \(a, b, c\) și \(d\),
- dacă \(a=b\), atunci \(a\cdot c=b\cdot c\) (o egalitate se păstrează dacă înmulțim fiecare termen al egalității cu același număr).
- dacă \(a=b\) și \(c=d\), atunci \(a\cdot c=b\cdot d\) (egalitățile pot fi înmulțite termen cu termen)
- dacă \(a\le b\), atunci \(a\cdot c\le b\cdot c\) (o inegalitate se păstrează dacă înmulțim fiecare termen al inegalității cu același număr)
- dacă \(a\le b\) și \(c\le d\), atunci \(a\cdot c\le b\cdot d\) (inegalitățile de numere naturale, de același tip, pot fi înmulțite termen cu termen)
Observație:
Inegalitățile \(a\le b\) și \(c\ge d\) nu pot fi înmulțite deoarece nu sunt de același tip.
Factor comun
În suma \(a\cdot b+a\cdot c\), numărul a se numește factor comun.
Conform proprietății de comutativitate a înmulțirii față de adunare rezultă:
\(a\cdot b+a\cdot c=a\cdot \left( b+c \right)\)
și, în acest caz, putem spune că am scos factor comun pe \(a\).
Avantajul scoaterii factorului comun este că în loc să facem trei operații în membrul stâng (două înmulțiri și o adunare), facem numai două operații în membrul drept (o adunare și o înmulțire).
Exemplu:
\(3\cdot a-3\cdot b+3\cdot c+3\cdot d=3\cdot \left( a-b+c+d \right)\), numărul 3 este factor comun
\(2\cdot m+16\cdot n-8=2\cdot \left( m+8\cdot n-4 \right)\), numărul 2 este factor comun
\(17\cdot37-15\cdot 17=17\cdot \left( 37-15 \right)=17\cdot 22=374\), numărul 17 este factor comun
Exemplu:
\(\displaylines{3\cdot a-3\cdot b+3\cdot c+3\cdot d=\\=3\cdot \left( a-b+c+d \right)}\)
numărul 3 este factor comun
\(2\cdot m+16\cdot n-8=2\cdot \left( m+8\cdot n-4 \right)\)
numărul 2 este factor comun
\(\displaylines{17\cdot37-15\cdot 17=\\=17\cdot \left( 37-15 \right)=17\cdot 22=374}\)
numărul 17 este factor comun
Observație:
Orice număr par este de forma \(2\cdot k\) și orice număr impar este de forma \(2\cdot k+1\), unde k este un număr oarecare.
Exemplu:
\(k=0\Leftrightarrow 2\cdot k=2\cdot 0=0\) și \(2\cdot k+1=2\cdot 0+1=1\)
\(k=1\Leftrightarrow 2\cdot k=2\cdot 1=2\) și \(2\cdot k+1=2\cdot 1+1=3\)
.
.
.
\(k=11\Leftrightarrow 2\cdot k=2\cdot 11=22\) și \(2\cdot k+1=2\cdot 11+1=23\)
\(k=12\Leftrightarrow 2\cdot k=2\cdot 12=24\) și\( 2\cdot k+1=2\cdot 12+1=25\)
Observație:
Produsul a două sau mai multe numere impare este un număr impar; dacă cel puțin un factor al înmulțirii este par, atunci produsul este par.
Exemplu:
\(1\cdot 3\cdot 5=15\), unde \(1, 3, 5, 15\) sunt numere impare
\(2\cdot 3\cdot 5=30\), unde \(3\) și \(5\) sunt numere impare, iar \(2\) și \(30\) sunt numere pare.
Observație:
Ultima cifră a unui produs este ultima cifră a produsului ultimelor cifre ale fiecărui factor al produsului.
Exemplu:
Ultima cifră a produsului \(2534\cdot 157\) este ultima cifră a produsului \(4\cdot 7\), adică \(8\).
Verificare:
\(2534\cdot 157 =397838\)
\(4\cdot 7=28\)