Cel mai mare divizor comun
Cel mai mare divizor comun a două numere naturale a și b este un număr natural d, care:
- divide pe \(a\) și pe \(b\);
- dacă \(d’|a\) și \(d’|b\), atunci \(d’|d\).
Cel mai mare divizor comun, prescurtat c.m.m.d.c., a două numere naturale \(a\) și \(b\) se notează cu \(\left( a,b \right)\).
Pentru a afla c.m.m.d.c. a două sau mai multe numere naturale mai mari decât 1 se procedează astfel:
- se descompun numerele în produs de puteri de numere prime;
- se iau toți factorii primi comuni, o singură dată, la puterea cea mai mică și se înmulțesc între ei.
Exemplu:
| 112 | 2 |
| 56 | 2 |
| 28 | 2 |
| 14 | 2 |
| 7 | 7 |
| 1 |
\(2^{4}\cdot 7\)
| 252 | 2 |
| 126 | 2 |
| 63 | 3 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
\(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 7\)
\(\Rightarrow \left( 112,252 \right)=2^{2}\cdot 7\)
Două sau mai multe numere naturale care au c.m.m.d.c egal cu 1 se numesc numere prime între ele.
Exemplu:
- orice numere prime diferite sunt prime între ele.
- Numerele 6, 15 și 10 nu sunt numere prime, dar sunt prime între ele.
\(\left( 6;15 \right)=3,\text{ }\left( 15;10 \right)=5,\text{ }\left( 6;10 \right)=2\)
\(\text{dar } \left( 6;15;10 \right)=1\)
Cel mai mic multiplu comun
Cel mai mic multiplu comun a două numere naturale \(a\) și \(b\) este un număr natural m, care:
- este multiplu al lui \(a\) și al lui \(b\);
- dacă \(m’\text{ }\vdots \text{ }a\) și \(m’\text{ }\vdots \text{ }b\) atunci \(m’\text{ }\vdots \text{ }m\)
Cel mai mic multiplu comun, prescurtat c.m.m.m.c., a două numere naturale a și b se notează cu \(\left[ a,b \right]\).
Pentru a afla c.m.m.m.c. a două sau mai multe numere naturale mai mari decât 1 se procedează astfel:
- se descompun numerele în produs de puteri de numere prime;
- se iau toți factorii primi comuni și necomuni, o singură dată, la puterea cea mai mare și se înmulțesc între ei.
Exemplu:
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
\(2^{3}\cdot 3\)
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 72 | 2 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
\(2^{3}\cdot 3^{2}\)
\(\Rightarrow \left[ 24;48;72 \right]=2^{4}\cdot 3^{2}\)
Pentru \(a,b\in \mathbb{N}\text{ avem }\left( a, b \right)\cdot \left[ a,b \right]=a\cdot b\).
Cel mai mic multiplu comun al două sau mai multe numere naturale, oricare două prime între ele, este produsul lor.
Exemplu:
\(\left[ 2,7,11 \right]=2\cdot 7\cdot 11=154\)
\(\text{ deoarece }\left( 2,7 \right)=1,\text{ }\left( 7,11 \right)=1,\text{ }\left( 2,11 \right)=1\)
🔢 Calculator CMMDC și CMMMC
Calculează cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun
Se calculează...
Se calculează...
Se calculează...