Numărul natural \(a\) este divizibil (se divide) cu numărul natural \(b\), dacă există un număr natural \(c\), astfel încât \(a=b\cdot c\).
Pentru a nota o relație de divizibilitate, vom scrie într-unul din următoarele moduri:
- \(a\text{ }\vdots\text{ } b\) și se citește „ a se divide cu b” sau „a este multipul al lui b”;
- \(b|a\) și se citește „b divide a” sau „b este divizor al lui a”.
Exemple:
\(32\text{ }\vdots \text{ }8,\text{ deoarece }32=8\cdot 4\)
\(3|21,\text{ deoarece }21=3\cdot 7\)
\(119\text{ }\vdots 7,\text{ deoarece }119:7=17,\text{ rest }0\)
\(13\nmid 3579,\text{ deoarece }3579:17=210,\text{ rest }9\)
Mulțimea divizorilor naturali
Mulțimea divizorilor naturali ai numărului natural \(n\) este mulțimea \(D_{n}\) a tuturor numerelor naturale care divid pe \(n\).
Se notează: \(D_{n}=\left\{ d\in \mathbb{N},n\text{ }\vdots\text{ } d \right\}\).
Exemple:
\(D_{0}=\mathbb{N}\)
\(D_{1}=\left\{ 1 \right\}\)
\(D_{3}=\left\{ 1;3 \right\}\)
\(D_{9}=\left\{ 1;3;9 \right\}\)
\(D_{12}=\left\{ 1;2;3;4;6;12 \right\}\)
\(D_{18}=\left\{ 1;2;3;6;9;18 \right\}\)
Mulțimea multiplilor naturali
Mulțimea multiplilor naturali ai numărului natural \(n\) este \(M_{n}\) a tuturor numerelor care se divid cu \(n\).
Se notează: \(M_{n}=\left\{ x\in \mathbb{N},x\text{ }\vdots\text{ } n \right\}\)
Exemple:
\(M_{0}=\left\{ 0 \right\}\)
\(M_{3}=\left\{ 0;3;6;9;12;…\right\}\)
\(M_{5}=\left\{ 0;5;10;15;20;25;30;… \right\}\)
\(M_{17}=\left\{ 0;17;34;51;68;… \right\}\)
Observații:
- Dacă \(a\) și \(b\) sunt numere naturale, cu \(b\neq 0\), atunci \(a\) este divizibil cu \(b\), dacă restul împărțirii lui a la \(b\) este zero.
- Numărul natural 0 este divizibil cu orice număr natural, dar 0 divide doar pe 0.
- Dacă n este un număr natural nenul, atunci \(D_{n}\) este o mulțime finită, iar \(M_{n}\) este o mulțime infinită.
Orice număr natural, cu excepția lui 1, are cel puțin doi divizori: pe 1 și pe el însuși, numiți divizori improprii. Ceilalți divizori, dacă există, se numesc divizori proprii
Observație:
Orice număr natural este divizor al numărului 0, iar număr natural 1 are un singur divizor, și anume pe 1. Nu se pune problema existenței divizorilor proprii, respectiv improprii, pentru numerele 0 și 1.
Exemplu:
1 și 24 sunt divizorii improprii ai numărului 24, iar 2, 3, 4, 6, 8, 12 sunt divizorii proprii.
Un număr natural care are exact doi divizori se numește număr prim.
Exemple:
Numerele 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 23, … sunt numere prime.
Un număr natural care are cel puțin trei divizori se numește număr compus.
Exemple:
Numerele 4, 6, 9, 12, 15, 21, 25, … sunt numere compuse.
Observații:
- Un număr natural care are numai divizori improprii se numește număr prim.
- Numărul 2 are exact 2 divizori. Deci numărul 2 este singurul număr par și prim.
- Orice număr par \(2n\text{ }\left( n\gt 1 \right)\) are cel puțin trei divizori (1, n și 2n), deci este număr compus.
- Numărul 1 are un singur divizor, deci nu este nici prim și nici compus.
Ciurul lui Eratostene
Ciurul lui Eratostene este un criteriu simplu și vechi de recunoaștere a numerelor prime. Acest criteriu a fost creat de Eratostene, un matematician din Grecia antică și permite găsirea tuturor numerelor prime, mai mici sau egale cu un număr natural dat n, și constă în următoarele:
- Se scriu numerele de la 1 la n, în ordine crescătoare, într-o listă.
- Se taie numărul 1 care nu este nici prim nici compus. Rezultă o nouă listă.
- Următorul număr este numărul 2, care este primul număr prim. Se taie cu o linie toate numerele pare (care sunt multiplii lui 2) și rezultă o nouă listă.
- Primul număr netăiat din listă este număr prim. Se taie din această listă toți multiplii acestui număr prim. Rezultă o nouă listă.
- Se repetă pasul anterior până când noua listă nu mai conține numere netăiate.
- Rezultă o listă finală care conține numere tăiate și netăiate. Numerele netăiate sunt toate numere prime, mai mici sau egale cu n.
Exemplu:
Dacă n=100, avem:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |
| 71 | 72 | 73 | 74 | 76 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
| 81 | 82 | 83 | 84 | 86 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 |
| 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
Din ciurul lui Eratostene rezultă șirul numerelor prime, ordonat crescător:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, …
Folosind acest șir, stabilim dacă un număr este prim astfel:
- Împărțim numărul la numerele prime în ordine descrescătoare, până câtul devine mai mic decât împărțitorul;
- Dacă restul tuturor împărțirilor nu este 0, atunci numărul respectiv este prim; dacă restul unei dintre împărțiri este zero, atunci numărul este compus.
Exemple:
\(457:2=228\text{ rest }1\)
\(457:3=152\text{ rest }1\)
\(457:5=91\text{ rest }2\)
\(457:7=65\text{ rest }2\)
\(457:11=41\text{ rest }6\)
\(457:13=35\text{ rest }2\)
\(457:17=26\text{ rest }15\)
\(457:19=24\text{ rest }1\)
\(457:23=19\text{ rest }20\)
\(19\lt 23\Rightarrow 457\) este număr prim
\(87:2=43\text{ rest }1\)
\(87:3=29\text{ rest }0\)
\(\Rightarrow 457\) nu este număr prim, este număr compus
Descompunerea în factori primi
Orice număr natural compus poate fi scris ca produs de numere naturale prime, iar această scriere se numește descompunerea în factori primi a numărului natural respectiv și este unică, făcând abstracție de ordinea factorilor. Pentru a ușura descompunerea unui număr natural în produs de numere prime se ține cont că \(10=2\cdot 5\), \(100=2^{2}\cdot 5^{2}\), \(1000=2^{3}\cdot 5^{3}\), etc.
Numărul de divizori ai numărului natural n, cu descompunerea în factori primi \(n=a^{x}\cdot b^{y}\), \(\text{ este }\left( x+1 \right)\cdot \left( y+1 \right)\), \(\text{ }x,y\in \mathbb{N}\).
Numărul de divizori ai numărului natural n, cu descompunerea în factori primi \(n=a^{x}\cdot b^{y}\cdot c^{z}\), \(\text{ este }\left( x+1 \right)\cdot \left( y+1 \right)\cdot \left( z+1\right)\) unde \(\text{ }x,y,z\in \mathbb{N^{*}}\).
Exemple:
| 260 | \(2\cdot 5\) |
| 26 | 2 |
| 13 | 13 |
| 1 |
\(260=2^{2}\cdot 5\cdot 13\) și are \(\left( 2+1 \right)\cdot \left( 1+1 \right)\cdot \left( 1+1 \right)=12\)divizori
| 1800 | 2^{2}\cdot 5^{2} |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
\(1800=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\) și are \(\left( 3+1 \right)\cdot \left( 2+1 \right)\cdot \left( 2+1 \right)=36\) divizori
| 1296 | 2 |
| 648 | 2 |
| 324 | 2 |
| 162 | 2 |
| 81 | 3 |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
\(1296=2^{4}\cdot 3^{4}\) și are \(\left( 4+1 \right)\cdot \left( 4+1 \right)=25\) divizori
Tabel cu numerele prime până la 1000
2 | 61 | 149 | 239 | 347 | 443 | 563 | 659 | 773 | 887 |
3 | 67 | 151 | 241 | 349 | 449 | 569 | 661 | 787 | 907 |
5 | 71 | 157 | 251 | 353 | 457 | 571 | 673 | 797 | 911 |
7 | 73 | 163 | 257 | 359 | 461 | 577 | 677 | 809 | 919 |
11 | 79 | 167 | 263 | 367 | 463 | 583 | 683 | 811 | 929 |
13 | 83 | 173 | 269 | 373 | 467 | 593 | 691 | 821 | 937 |
17 | 89 | 179 | 271 | 379 | 479 | 599 | 701 | 823 | 941 |
19 | 97 | 181 | 277 | 383 | 487 | 601 | 709 | 827 | 947 |
23 | 101 | 191 | 281 | 389 | 491 | 607 | 719 | 829 | 953 |
29 | 103 | 193 | 283 | 397 | 499 | 613 | 727 | 839 | 967 |
31 | 107 | 197 | 293 | 401 | 503 | 617 | 733 | 853 | 971 |
37 | 109 | 199 | 307 | 409 | 509 | 619 | 739 | 857 | 977 |
41 | 113 | 211 | 311 | 419 | 521 | 631 | 743 | 859 | 983 |
43 | 127 | 223 | 313 | 421 | 523 | 641 | 751 | 863 | 991 |
47 | 131 | 227 | 317 | 431 | 541 | 643 | 757 | 877 | 997 |
53 | 137 | 229 | 331 | 433 | 547 | 647 | 761 | 881 | – |
59 | 139 | 233 | 337 | 439 | 557 | 653 | 769 | 883 | – |