Un criteriu de divizibilitate este o regulă prin care se stabilește dacă numărul natural \(a\) este divizibil sau nu cu numărul natural \(b\), fără a efectua operația de împărțire a lui \(a\) la \(b\).
Criteriul de divizibilitate cu 2
Criteriul de divizibilitate cu 2 – un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este pară (este divizibilă cu 2)
\(\overline{abc}\text{ }\vdots \text{ }2\) dacă și numai dacă \(c\in \left\{ 0,2,4,6,8 \right\}\)
Exemple:
\(12\text{ }\vdots\text{ } 2\)
ultima cifra a lui 12 este 2 care este cifră pară
verificare
12:2=6
\(2\nmid 425\)
ultima cifra a lui 425 este 5 care este cifră impară
\(425:2=212\text{ rest }1\)
Criteriul de divizibilitate cu 3
Criteriul de divizibilitate cu 3 – un număr natural este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
\(\overline{abc}\text{ }\vdots \text{ }3\) dacă și numai dacă \(\left( a+b+c \right)\text{ }\vdots \text{ }3\)
Exemple:
\(3\nmid 154\text{ deoarece }1+5+4=10\text{ și }3\nmid 10\)
verificare \(154:3=51\text{ rest }1\)
\(123\text{ }\vdots \text{ }3\text{ deoarece }1+2+3=6\text{ }\vdots \text{ }3\)
verificare \(124:3=41\text{ rest }0\)
Criteriul de divizibilitate cu 5
Criteriul de divizibilitate cu 5 – un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5 (este divizibilă cu 5).
\(\overline{abc}\text{ }\vdots \text{ }5\) dacă și numai dacă \(c\in \left\{ 0,5 \right\}\)
Exemple:
\(325\text{ }\vdots \text{ }5\text{ deoarece ultima cifra este 5}\)
verificare \(325:5=65\text{ rest }0\)
\(5\nmid 431\text{ deoarece ultima cifra nu este 0 sau 5}\)
verificare \(431:5=86\text{ rest }1\)
Criteriul de divizibilitate cu 9
Criteriul de divizibilitate cu 9 – un număr natural este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.
\(\overline{abc}\text{ }\vdots \text{ }9\) dacă și numai dacă \(\left( a+b+c \right)\text{ }\vdots \text{ }9\)
Exemple:
\(9\nmid 437\text{ deoarece }4+3+7=14, \text{ iar }9\nmid 14\)
verificare \(437:5=48\text{ rest }5\)
\(513\text{ }\vdots \text{ }9\text{ deoarece }5+1+3=9\text{ }\vdots \text{ }9\)
verificare \(513:9=57\text{ rest }0\)
Criteriul de divizibilitate cu 4 sau cu 25
Criteriul de divizibilitate cu 4 sau cu 25 – un număr natural este divizibil cu 4, respectiv 25, dacă și numai dacă numărul format din ultimile sale două cifre este divizibil cu 4, respectiv 25.
\(\overline{abcd}\text{ }\vdots \text{ }4\) dacă și numai dacă \(\overline{cd}\text{ }\vdots \text{ }4\)
Exemple:
\(2016\text{ }\vdots \text{ }4\text{ deoarece }16\text{ }\vdots \text{ }4\)
verificare \(2016:4=504\text{ rest }0\)
\(4\nmid 4217\text{ deoarece }4\nmid 17\)
verificare \(4217:4=1054\text{ rest }1\)
\(1025\text{ }\vdots \text{ }25\text{ deoarece }25\text{ }\vdots \text{ }25\)
verificare \(1025:25=41\text{ rest }0\)
\(25\nmid 5453\text{ deoarece }25\nmid 53\)
verificare \(5453:25=218\text{ rest }3\)